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【数量关系】推理原理
发布日期:2013-10-12        浏览次数:1664

推理原理

  【例1】有一座四层楼(图25-1),每层楼有3个窗户,每个窗户有4块玻璃,分别是白色和蓝色,每个窗户代表一个数字,从左到右表示一个三位数,四个楼层所表示的三位数分别是791,275,362,612。那么,第二层楼代表哪个三位数?

  【分析】仔细观察图25-1和组成四个三位数的12个数字,“2”出现3次,两次在个位,一次在百位。容易看出图2(a)代表“2”,再从“6”、“7”都出现两次,并根据它们所在的数位以及与“2”的关系,可推知:图25-2中(b)、(c)分别代表“6”和“7”。

  【解】第二层楼代表612。

  【例2】有8个球编号是①至⑧,其中有6个球一样重,另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球,用天平称了3次。结果如下:

  第一次 ①+②比③+④重

  第二次 ⑤+⑥比⑦+⑧轻

  第三次 ①+③+⑤与②+④+⑧一样重,那么,两个轻球的编号是__和__。

  【分析】从第一次称的结果看,③、④两球中有一个轻;从第二次称的结果看,⑤、⑥两球中有一个轻;从第三次称的结果看,①、③、⑤三球中有一个轻,②、④、⑧三个球中也有一个轻。综合上面推出的结果,可找出两个轻球。

  【解】两个轻球的编号是④和⑤。

  说明:在上面的推理中,我们省去了一步,也就是:排除了①、③、⑤与②、④、⑧中都没有轻球的那种可能。因为容易用反证法导出“⑥、⑦”都是轻球”这一结论与第二次称的结果相矛盾。

  【例3】如图25-3,每个正方体的六个面上分别写着1~6这六个数字,并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7。把这样的五个正方体一个挨着一个连接起来后,紧挨着的两个面上两个数字之和都等于8。图3中打“?”的这个面上所写的数字是__。

  【分析】根据题意,容易推知拐弯处的那个正方体的右侧面上写的数字可能是“2”,也可能是“5”。但用反证法可把第1种情况排除。怎样排除?(留给读者完成)

  【解】打“?”的这面上写着“3”。

  【例4】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛,每队与另两支队各赛一场。已知:(1)意大利队总进球数是0,并且有一场打了平局;(2)荷兰队总进球数是1,总失球数是2,并且该队恰好胜了一场。按规则:胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分。问德国队得了__分。

  【分析】由条件(2)知,荷兰队胜了一场,而不进球是不可能胜的,但它的总进球数只有1,说明这场比赛它以1∶0取胜。又因为它总失球数2,所以另一场比赛以0∶2输了。再由条件(1)知:以2∶0赢荷兰队的不可能是意大利队(因为意大利队没有进球),只可能是德国队(记2分)。既然荷兰队输给德国队,那么它胜的一场一定是对意大利队,而且比分为1∶0。德、意两队以0∶0踢平(各记1分)。

  【解】德国队得了3分。

 【例5】某楼住着4个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁,最大的女孩比最小的男孩也大4岁。最大的男孩多少岁?

  【分析】最大的孩子(10岁的)不是男孩,就是女孩。如果10岁的孩子是男孩,那么,根据题意,最小的女孩是6岁(6=10-4),从而,最小的男孩是4岁,再根据题意,最大的女孩是8岁(8=4+4)。这就是说,4个女孩最小的6岁,最大的8岁,其中必有两个女孩同岁,但这与已知条件“他们的年龄各不相同”矛盾。所以10岁的孩子不是男孩,而是女孩。最小(4岁)的孩子也是女孩。

  【解】最大的男孩是4+4=8(岁)。

  在上面的分析中,我们用了这样的性质:如果4个自然数只能取三种不同的值,那么其中必定有两个数相等。

  【例6】一次象棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个队,每个选手都与其余9名选手各赛1盘,每盘棋的胜者得1分,负者得0分,平局双方各得0.5分。结果,甲队选手平均得4.5分,乙队选手平均得3.6分,丙队选手平均得9分。那么,甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少?

  【分析】这次比赛共需比9+8+7+……+2+1=45(盘)。因为每盘比赛双方得分的和都是1分(1+0=1或0.5×2=1),所以10名选手的总得分为1×45=45(分)。每个队的得分不是整数,就是“a.5”这样的小数。由于乙队选手平均得3.6分,3.6的整数倍不可能是“a.5”这样的小数。所以,乙队的总得分是18或36。但36÷3.6=10,而三个队一共才10名选手(矛盾)。所以,乙队的总分是18分,有选手18÷3.6=5(名)。甲、丙两队共有5名选手。

  由于丙队的平均分是9分,这个队总分只可能是9分、18分(不可能是27分。因为27+18=45,甲队选手总得分为0分),丙队选手人数相应为1名、2名,甲队选手人数相应为4名、3名,经试验,甲队4名选手,丙队1名选手。

  【例7】将1~8这8个自然数分成两组,每组四个数,并使两组数之和相等。从A组拿一个数到B组后,B组的数之和将是A组剩下三个数之和的2倍;从B组拿一个数到A组后,B组剩下的三个数之和是A组五个数之

  【分析】1~8这8个数之和为36,分成的两组每组4个数之和为36÷2=18。第一次拿数后,A组剩下三数的和为36÷(1+2)=12,拿出

接下去推就容易了,只要把剩下的1、2、4、5、7、8分成两组,其中A组另三个数之和为18-6=12。

  【解】A组:1,4,6,7;B组:2,3,5,8。

  教练员提示语

  在运用试验法(排除法)时,应想办法使试验的次数尽可能少些,这就需要用足题目所给的已知条件,并有意识地寻找别的限制条件。如例2中“0.5的整数倍不是整数,就是小数部分为0.5的带小数”,“3.6的整数倍不可能是a.5这种形式”等。另外,像例2、例3中“总分45分”、“共10名选手”、“A组剩下三数之和为12”等,都是推理的重要根据。

逻辑推理问题。解这类题通常要借助于表格。

  【例8】五封信,信封完全相同,里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片。现在把它们按顺序排成一行,让A、B、C、D、E五人猜每只信封内所装卡片的颜色。

  A猜:第2封内是紫色,第3封是黄色;

  B猜:第2封内是蓝色,第4封是红色;

  C猜:第1封内是红色,第5封是白色;

  D猜:第3封内是蓝色,第4封是白色;

  E猜:第2封内是黄色,第5封是紫色。

  然后,拆开信封一看,每人都猜对一种颜色,而且每封都有一人猜中。请你根据这些条件,再猜猜,每封信中夹什么颜色的卡片?

  【分析】把已知条件简明地记录在表格中(如图27-1)。选择其中一只信封作为“突破口”。比如第3封,A猜的是黄色,D猜的却是蓝色。由已知条件,这只信封内的卡片不是蓝色,就是黄色。假如第3封是蓝色,那么逐步推理可导出矛盾:白色卡片没人猜对,见图27-1,“白”这栏下面 5(×)、4(×)。这说明假设不正确,第3封内应是黄色。由此推出其它各封内的颜色(见图27-2中的“√”)。

  【例9】赵、钱、孙、李四人,一个是教师,一个是售货员,一个是工人,一个是机关干部。试根据以下条件,判断这四人的职业。

  (1)赵和钱是邻居,每天一起骑车上班;

  (2)钱比孙年龄大;

  (3)赵在教李打太极拳;

  (4)教师每天步行去上班;

  (5)售货员的邻居不是机关干部;

  (6)机关干部和工人互不相识;

  (7)机关干部比售货员和工人年龄都大。

  【分析】由条件(4)和条件(1)可知赵、钱都不是教师。由条件(2)和条件(7),可推知孙不是干部。如果是的话,钱不是工人或售货员,钱又不是教师。于是,钱也是干部,矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说明。

 

  教练员提示语

  解逻辑推理问题,需要借助表格,使已知条件及推出的有用结论一目了然。在表格中,对正确的(或不正确的)结果要及时注上“√”(或“×”),以免影响推理的速度,或被错误信息干扰思路。

  除了常用的反证法、排除法外,还需要掌握一些简单的逻辑知识。比如“两件互相矛盾对立(不能都存在)的事,如果一件不正确,另一件必定正确”。