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【数量关系】容斥问题
发布日期:2013-10-12        浏览次数:1574

容斥问题

一、知识点

1、集合与元素:把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的,集合的这些成员,叫做这个集合的元素。

如:集合A={0,1,2,3,……,9},其中0,1,2,…9为A的元素。

2、并集:由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集,记作A∪B,记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”,用图表示为图中阴影部分表示集合A,B的并集A∪B。

例:已知6的约数集合为A={1,2,3,6},10的约数集合为B={1,2,5,10},则A∪B={1,2,3,5,6,10}

3、交集:A、B两个集合公共的元素,也就是那些既属于A,又属于B的元素,它们组成的集合叫做A和B的交集,记作“A∩B”,读作“A交B”,如图阴影表示:

例:已知6的约数集合A={1,2,3,6},10的约数集合B={1,2,5,10},则A∩B={1,2}。

4、容斥原理(包含与排除原理)

(用|A|表示集合A中元素的个数,如A={1,2,3},则|A|=3)

原理一:给定两个集合A和B,要计算A∪B中元素的个数,可以分成两步进行:

第一步:先求出∣A∣+∣B∣(或者说把A,B的一切元素都“包含”进来,加在一起);

第二步:减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素)

总结为公式:|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二:给定三个集合A,B,C。要计算A∪B∪C中元素的个数,可以分三步进行:

第一步:先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;

第二步:减去∣A∩B∣,∣B∩C∣,∣C∩A∣;

第三步:再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式:

A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣

二、例题分析:

例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析:设A={20以内2的倍数},B={20以内3的倍数},显然,要求计算2或3的倍数个数,即求∣A∪B∣。

解1:A={2,4,6,…20},共有10个元素,即|A|=10

B={3,6,9,…18},共有6个元素,即|B|=6

A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6,12,18},共有3个元素,即|A∩B|=3

所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13,即A∪B中共有13个元素。

解2:本题可直观地用图示法解答

如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

例2 某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?

:设A={数学成绩90分以上的学生}

B={语文成绩90分以上的学生}

那么,集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生,由题意知,

A∣=25,∣B∣=21,∣A∪B∣=38

现要求两科均在90分以上的学生人数,即求∣A∩B∣,由容斥原理得

A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

点评:解决本题首先要根据题意,设出集合A,B,并且会表示A∪B,A∩B,再利用容斥原理求解。

例3 某班同学中有39人打篮球,37人跑步,25人既打篮球又跑步,问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?

:设A={打篮球的同学};B={跑步的同学}

 A∩B={既打篮球又跑步的同学}

A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)

例4 求在不超过100的自然数中,不是5的倍数,也不是7的倍数有多少个?

分析:这个问题与前几个例题看似不相同,不能直接运用容斥原理,要计算的是“既不是5的倍数,也不是7的倍数的数的个数。”但是,只要同学们仔细分析题意,这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。

:设A={100以内的5的倍数}

B={100以内的7的倍数}

A∩B={100以内的35的倍数}

A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}

则有∣A∣=20,∣B∣=14,∣A∩B∣=2

由容斥原理一有:∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32

因此,不是5的倍数,也不是7的倍数的数的个数是:100-32=68(个)

点评:从以上的解答可体会出一种重要的解题思想:有些问题表面上看好象很不一样,但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系,应当善于将一个问题转化为另一个问题。

例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组,参加数学小组的有23人,参加语文小组的有27人,参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人,同时参加数学、外语小组的有7人,同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人。问:这个年级参加课外学科小组共有多少人?

解1:设A={数学小组的同学},B={语文小组的同学},C={外语小组的同学},A∩B={数学、语文小组的同学},A∩C={参加数学、外语小组的同学},B∩C={参加语文、外语小组的同学},A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知:∣A∣=23,∣B∣=27,∣C∣=18

A∩B∣=4,∣A∩C∣=7,∣B∩C∣=5,∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得:

A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-(4+5+7)+2

=54(人)

解2: 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数,然后求出最后结果。

              

  设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合,其图分割成七个互不相交的区域,区域Ⅶ(即A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合,由题意,应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合,其人数为4-2=2(人)。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合,其人数为7-2=5(人)。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合,其人数为5-2=3(人)。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合,其人数为23-2-2-5=14(人)。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出,分别填入相应的区域内,则参加课外小组的人数为;

14+20+8+2+5+3+2=54(人)

点评:解法2简单直观,不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了,因此提供了较多的信息,易于回答各种方式的提问。

例6 学校教导处对100名同学进行调查,结果有58人喜欢看球赛,有38人喜欢看戏剧,有52人喜欢看电影。另外还知道,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人,三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影?有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影(但不喜欢看戏剧)?(假定每人至少喜欢一项)

解法1:画三个圆圈使它们两两相交,彼此分成7部分(如图)这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合,由于三种都喜欢的有12人,把12填在三个圆圈的公共部分内(图中阴影部分),其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数(注意,有的部分的人数要经过简单的计算)其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ,这样,全班同学人数就是这7部分人数的和,即

16+4+6+(40-χ)+(36-χ)+12=100

解得 χ=14

只喜欢看电影的人数为

36-14=22

解法2:设A={喜欢看球赛的人},B={喜欢看戏剧的人},C={喜欢看电影的人},依题目的条件有|A∪B∪C|=100,|A∩B|=6+12=18(这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种),|B∩C|=4+12=16,|A∩B∩C|=12,再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二:|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

得:100=58+38+52-(18+16+х+12)+12

解得:х=14

36-14=22

所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14,只喜欢看电影的人数为22。

点评:解法1没有用容斥原理公式,而是先分别计算出(未知部分设为х)各个部分(本题是7部分)的数目,然后把它们加起来等于总数,这种计算方法也叫“分块计数法”,它是利用图示的方法来解决有关问题,希望同学们能逐步掌握此类方法,它比直接用容斥原理公式更直观,更具体。

例7、某车间有工人100人,其中有5个人只能干电工工作,有77人能干车工工作,86人能干焊工工作,既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?

解:工人总数100,只能干电工工作的人数是5人,除去只能干电工工作的人,这个车间还有95人。 利用容斥原理,先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分,其总数为163,然后找出这一公共部分,即163-95=68

例8,某次语文竞赛共有五道题(满分不是100分),丁一只做对了(1)、(2)、(3)三题得了16分;于山只做对了(2)、(3)、(4)三题,得了25分;王水只做对了(3)、(4)、(5)三题,得了28分,张灿只做对了(1)、(2)、(5)三题,得了21分,李明五个题都对了他得了多少分?

解:由题意得:前五名同学合在一起,将五个试题每个题目做对了三遍,他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+30+28+21=120。因此,五道题满分总和是120÷3=40。所以李明得40分。

例9,某大学有外语教师120名,其中教英语的有50名,教日语的有45名,教法语的有40名,有15名既教英语又教日语,有10名既教英语又教法语,有8名既教日语又教法语,有4名教英语、日语和法语三门课,则不教三门课的外语教师有多少名?

解:本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数,才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106(人)不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14(人)