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【数量关系】平均数问题
发布日期:2013-10-12        浏览次数:2076

  例1 一学期中进行了五次数学测验,小明的得分是

  95879410098.

  那么他的平均成绩是多少?

  解:方法1 把所有分数加起来,除以次数,即

 (95879410098÷594.8.

  方法先设一个基数,通常设其中最小的数,例如本题设87为基数,求其他数87的差,再求这些差的平均值,最后加上基数,即

  [95-87+87-87+94-87+100-87+98-87]÷5+87

  =8+0+7+13+11÷5+87

  =7.8+87

  =94.8.

  对若干个数求平均数,概括成以下两种方法.

  方法1:各个数的总和÷数的个数

  方法2:基数+每一数与基数的差求和÷数的个数.

一、一些简单的问题

  求平均数可以产生许多数学题,这一节将通过一些简单的例子,增加对平均这一概念的理解.

  例2 小明4次语文测验的平均成绩是89分,第5次测验得了97分,5次测验的平均成绩是多少?

  解:按照例1中的两种思路,有两种计算方法:先算出5次成绩的总和,再求平均成绩,就有

  (89×4+97÷5=90.6(分).

  从算每一次的平均入手,就有

  89+97-89÷5=90.6(分).

  很明显,第二种方法计算简易.

  例3 小强4次语文测验的平均成绩是87分,5次语文测验的平均成绩是88.4分,问第5次测验他得了多少分?

  解:两种思路,两种计算方法:

  从总分数(总成绩)来考虑.

  第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩

  =88.4×5-87×4

  =94(分).

  从差的平均来考虑,平均成绩要提高

  88.4-87.

  因此,第5次得分应是

  87+88.4-87×5=94(分).

  请大家想一想,例2与例3这两个问题之间的关系.

  例4 小明前几次数学测验的平均成绩是84分,这一次要考100分,才能把平均成绩提高到86分,问这一次是第几次测验?

  解:平均每次要提高(86-84)分,这一次比原来的平均成绩多了(100-84)分,平均分摊在每一次上,可以分摊多少次呢

  (100-84÷86-84=8(次).

  因此这一次测验是第8.

  例5 寒假中,小明兴致勃勃地读《西游记》,第一天读83页,第二天读74页,第三天读71页,第四天读64页,第五天读的页数,比五天中平均读的页数还多3.2页,问小明在第五天读了多少页?

  解:前四天,每天平均读的页数是

  (83+74+71+64÷4=73(页).

  很明显,第五天读的页数比73页多,由此平均数就增加了.为了便于思考,画出下面的示意图:

  图上“73”后面的虚线,表示第五天后增加的平均数,现在要用3.2去补足这些增加的平均数值,3.2共要补足四份,每份是

  3.5÷4=0.8.

  由此就知道,第五天读的页数是

  73+0.8+3.2=77(页).

  例甲、乙、丙三人,平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克,甲比丙重2千克.求乙的体重.

  解:甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克,也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多3×2=6(千克).已知甲比丙重2千克,就得出乙比丙多

  3×2-2=4(千克).

  从方法2知道

  丙的体重+差的平均=三人的平均体重.

  因此,丙的体重=63-3×2÷3

  =61(千克).

  乙的体重=61+4=65(千克).

  例7 下面是一串有规律的数

  591317212529.

  从小到大排到,后一个数与前一个数的差都是4,求这串数的平均数.

  解:上面共有7个数,第2个数比第1个数多4,而第6个数比第7个数少4.因此,第1个和第7个的平均数(5+29÷2=17,与第2个和第6个的平均数(9+25÷2=17是相等的.同样道理,第3个和第5个的平均数也是17.由此,可以得出这串数的平均数,就是头、尾两数的平均值17.

  当把一些数排列好前后次序,相邻的两个数,后一个减前一个的差都相等,这列数,就称为等差数列.7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短,不论它有多少数,总有一个基本性质:它的所有数的平均数,就是头、尾两数的平均数.很明显,当等差数列有奇数个数时,这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时,这一平均数也就是最中间两个数的平均数.

  利用这一性质,我们很容易求一个等差数列的所有数之,它等于平均数乘以数的个数.77个数之和是

  (5+29÷2×7=119.

  例8 小强在前五天平均每天做了3.6道数学题,第四、五两天共做了5.第六天,为了使后三天的平均数超过六天的平均数,第六天他至少要做多少题?

  解:(前三天题数÷3+后三天题数÷3÷2=六天题数÷6.

  因此,只要后三天平均数超过前三天平均数,也就是后三天做的题数,比前三天做的题数多,后三天的平均数就超过六天平均数了.

  前三天做的题数是

  3.6×5-5=13(题).

  第四、五天已做了5题,13-5=8,小强第六天至

  少要做9.

  答:小强第六天至少要做9.

二、部分平均与全体平均

  例9 某次考试,21位男同学的平均成绩是82分,19位女同学的平均成绩是87分,全体同学的平均成绩是多少?

  解:有两种求法:

  方法1

 男同学的总分数 82×21=1722,

 女同学的总分数 87×19=1653,

 全体同学的总分数 1722+1653=3375,

 全体同学的人数 21+19=40,

 全体同学的平均成绩3375÷40=84.375.

  方法2

  以男同学的平均成绩82分作为计算的基数,女同学每人平均多(87-82)=5(分),19人多了5×19=95(分),现在平均分摊给全体40人.

  因此,全体同学的平均成绩是

  82+(87-82)×19÷40

  =82+95÷40

  =84.375(分).

  注意 从部分的平均数,来求全体的平均数,不能简单地把部分平均数再进行求平均,如例9,(82+87)÷2=83.5,它不是全体的平均成绩.这一基本概念,大家必须弄清楚.

  例10 甲班52人,乙班48人.语文考试中,两个班全体同学的平均成绩是78分,乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分.两个班的平均成绩各是多少?

  解:两个班的全体人数是

  52+48=100(人).

  他们的分数总和是

  78×100=7800(分).

  以甲班同学的平均成绩为基数,乙班每人平均多了5分,如果乙班的分数总和少了5×48=240(分),乙班的平均成绩就与甲班的一样,因此甲班的平均成绩是

  (7800-240)÷100=75.6(分).

  乙班的平均成绩是

  75.6+5=80.6(分).

  例11 女同学的人数是男同学人数的一半,男同学的平均体重是41千克,女同学的平均体重是35千克,全体同学的平均体重是多少千克?

  解:题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人,怎么办?

  设全体女同学是1组人,那么男同学就是2组人.

  女同学的体重总和: 35×1组人数.

  男同学的体重总和: 41×2组人数.

  全体总人数:(1+2)组人数.

  全体同学平均体重是

  (35×1+41×2)÷(1+2)=39(千克).

  上面算式中每一项都有“组人数”,因此可以约掉.实际上和“1个女同学与2个男同学”的情形一样.

  还有一种计算方法,以女同学体重为基数,2组人每人都多(41-35)千克,平摊给(2+1)组人,因此全体同学的平均体重是

  35+(41-35)×2÷(2+1)=39(千克).

  例12 某班有50人,在一次数学考试后,按成绩排了名次.结果,前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚,他把前30名的平均成绩,加上后20名的平均成绩,再除以2,错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做,全班的平均成绩是提高了,还是降低了?请算出提高多少或降低多少.

  解:全班平均成绩降低了.

  按照这位同学的计算,相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分.因此相当于前30名同学每人少了6分,后20名同学每人多了6分,合起来全班的总分就少了

  30×6-20×6=60(分).

  全班的平均成绩也就降低了

  60÷(30+20)=1.2(分).

  例13 某学校入学考试,确定了录取分数线.报考的学生中,只录取了 

  均分比录取分数线低26分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少?

   

  我们把录取学生的人数算作1,没有被录取的人数算作3.

  以录取分数线作为基数,没有被录取的考生总共少了26×3分,录取的学生总共多了10×1分,合起来,总共少了

  26×3-10×1(分).

  对所有考生来说,每人平均少了

  (26×3-10×1)÷(3+1)=17(分).

  也就是每一考生的平均分70(分)比录取分数线少了17(分),因此录取的分数线是

  70+17=87(分).

  注意 这道题可检验如下:

  没有被录取的考生的平均成绩是87-26=61(分),被录取考生的平均成绩是87+10=97(分).全体考生的平均成绩是

  61+(97-61)÷(3+1)=70(分),

  或

  (61×3+97×1)÷(3+1)=70(分).

  由此就知道,上面解答是正确的.

  例14 某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人.现在将一等奖中最后4人调整为二等奖,这样得二等奖的学生平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分?

 解:根据题意

  前六人平均分=前十人平均分+3.

  这说明在计算前十人平均分时,前六人共多出3×6=18(分),来弥补后四人的分数,因此后四人的平均分比前十名平均分少

  18÷4=4.5(分).

  当后四人调整为二等奖后,这时二等奖共有20+4=24(人),平均每人提高了1分,这由调整进来的四人来供给,每人平均供给

  24÷4=6(分).

  后四人平均分=(原二等奖平均分)+6.

  与前面算出的前六人平均分比较,就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多

  4.5+6=10.5(分).

  我们可以画出示意图来说明上面的计算.

  从前十名来说,前六名用二条虚线所夹部分,来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.

  对二等奖来说,可以画出如下示意图:

三、从平均数求个别数

  例15 ABCD四个数的平均数是38AB的平均数是42BCD三个数的平均数是36,那么B是多少?

  解:ABCD四个数的平均数是

  (A+B+C+D÷4

  =A+B÷4+C+D÷4

  =[A+B÷2+C+D+2]÷2.

  这说明AB的平均数,CD的平均数,两者的再平均,就是四个数的平均数.

  因此,CD的平均数是

  38×2-42=34.

  题目已给出BCD三个数的平均数36B

  34+36-34×3=40.

  还有一个解法:

  四个数的平均数是38BCD三个数的平均数是36,还是按照例3中的计算,A

  36+38-36×4=44.

  己知AB的平均数是42,因此B

  42×2-44=40.

  注意 知道若干个数的平均数,也就是知道了它们的,已知ABCD四个数的,又已知其中三个数BCD,自然能求出(做一次减法)第四个数A.又已知AB,就很容易求出B,这就是例15的实质.

  例16 某次考试,ABCDE五人的成绩统计如下:

  ABCD的平均分 75.

  ACDE的平均分 70.

  ADE的平均分 60.

  BD的平均分 65.

  求A得了多少分.

  解:ACDE四人平均分和ADE三人平均分,按照例3的方法,就可求出C的得分:

  60+70-60×4=100(分).

  由ABCD四人平均分和BD两人平均分,按照例15,可以求出AC平均分:

  75×2-65=85(分).

  上面已算出C100分,因此A

  85×2-100=70(分).

  例17 某次考试,小英等7人的平均分是78分,其中最高得分是97分,最低得分是64分,小英得了88分,余下的4个人中有3个人得了相同的分数.分数各不相同的5个人的平均分是80分,其中还有一位同学与别人的得分都不同,他的得分是多少分?

  解:7个人的分数总和是

  78×7=546(分).

  分数各不相同的5个人平均分是80分,那么另2位分数相同的同学每人得分是

  (546-80×5÷2=73(分).

  这位与别人的得分都不相同的同学,他的得分是

  546-97-64-88-73×3=78(分).

  例18 ABCD四个数,两两配对可以配成六对,先请你想一想,是怎样配对的.这六对数的平均数分别是

  121315171920.

  原四个数的平均数是多少?

  解:每一个数与其他三个数可以配成三对,因此在上面六个平均数中,每个数都要被计算3次,每次计算中都用个数的一半.因此,这六个平均数之和是A+B+C+D3倍的一半.

  那么ABCD的平均数是

  (12+13+5+17+19+20×2÷3÷4

  =96×2÷3÷4

  =16.

  还有另一种解法:

  原四个数中,最小的两个数之和应是12×2,最大的两个数之和应是20×2.因此四数的平均数是

  (12×2+20×2÷4=16.

  请大家思考,是否可以求出ABCD四个数.

  例19 ABCD四个数,每次去掉个数,将其余三个数求平均数,这样计算了四次,得到下面四个数

  23263033.

  ABCD四个数的平均数是多少?

  3033这四个数相加,恰好是ABCD这四个数之,它们的平均数是(23+26+30+33÷4=28.

  例20 有四个数,每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外的个数,用这样的方法计算了四次,分别得到以下四个数

  26324046.

  那么原来四个数中,最大的个数是多少?

  解:很明显,这道题与前一例题紧密相关.我们来看一看,26324046这四个数相加是什么.

  每一个数有两部分,一部分是三个数的平均数,一部分是三个数之外的第四个数,把四个数的前一部分相加,根据前一例题,恰好得到四个数的和.把后一部分相加,也得到四个数的和.

 因此 26+32+40+46=四个数之和×2.

  这四个数的和是

  (26+32+40+46÷2=72.

  另外,每一个数乘以3,将是三个数之和加上第四个数的3倍,这也可以看成是四个数之和加上个数的2.它减去四个数之和72后,就是其中个数的 2.

  于是这四个数就可以按下面的计算求出:(26×3-72÷2=3

32×3-72÷2=12

40×3-72÷2=24

46×3-72÷2=33.

  四个数中最大的数是33.