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【数量关系】鸡兔同笼
发布日期:2013-10-12        浏览次数:2782

鸡兔同笼


一、基本问题  

  鸡兔同笼是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--“假设法来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

  例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?

  解:我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是

  244÷2=122(只).

  在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数

  122-88=34

  有34只兔子.当然鸡就有54.

  答:有兔子34只,鸡54.

  上面的计算,可以归结为下面算式:

  总脚数÷2-总头数=兔子数.

  上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别424又是22.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是42,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.

  还说例1.

  如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了

  88×4-244=108(只).

  每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡

  (88×4-244÷4-2= 54(只).

  说明我们设想的88兔子中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).

  当然,我们也可以设想88只都是,那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了

  244-176=68(只).

  每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,

  68÷2=34(只).

  说明设想中的,有34只是兔子,也可以列出公式

兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).

  上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.

  假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为假设法”.

  现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.

  例2 红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80.问红、蓝铅笔各买几支?

  解:作为钱的单位.我们设想,一种11只脚,一种兔子19只脚,它们共有16个头,280只脚.

  现在已经把买铅笔问题,转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式,就有

  蓝笔数=19×16-280÷19-11

  =24÷8

  =3(支).

  红笔数=16-3=13(支).

  答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

  对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.2中的脚数”1911之和是30.我们也可以设想16只中,8只是兔子8只是,根据这一设想,脚数是

  11+19=240.

  比28040.

  40÷19-11=5.

  就知道设想中的8应少5只,也就是(蓝铅笔)数是3.

  30×819×1611×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.

  实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,兔数10鸡数6,就有脚数

  19×10+11×6=256.

  比28024.

  24÷19-11=3

  就知道设想6,要少3.

  要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.

  下面再举四个稍有难度的例子.

  例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?

  解:我们把这份稿件平均分成30份(30610的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).

  现在把甲打字的时间看成头数,乙打字的时间看成头数,总头数是7.“的脚数是5的脚数是3总脚数30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了.

  根据前面的公式

  =30-3×7÷5-3

  =4.5

  =7-4.5

  =2.5

  也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

  答:甲打字用了4小时30.

  例今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?

  解:4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作头数,弟的年龄看作头数.25总头数”.86总脚数”.根据公式,兄的年龄是

  (25×4-86÷4-3=14(岁).

  1998年,兄年龄是

  14-4=10(岁).

  父年龄是

  (25-14×4-4=40(岁).

  因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是

  (40-10÷3-1=15(岁).

  这是2003.

  答:公元2003年时,父年龄是兄年龄3.

  例蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只?

  解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8条腿“6条腿两种.利用公式就可以算出8条腿的

  蜘蛛数=118-6×18÷8-6

  =5(只).

  因此就知道6条腿的小虫共

  18-5=13(只).

  也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式

  蝉数=13×2-20÷2-1=6(只).

  因此蜻蜓数是13-6=7(只).

  答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.

  例某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人?

  解:2道、3道、4道题的人共有

  52-7-6=39(人).

  他们共做对

  181-1×7-5×6=144(道).

  由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3÷2=2.5.这样

  兔脚数=4,鸡脚数=2.5

  总脚数=144,总头数=39.

  对4道题的有

  (144-2.5×39÷4-1.5=31(人).

  答:做对4道题的有31.

二、两数之差的问题

  鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢

  例买一些4分和8分的邮票,共花68.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张?

  解如果拿出408分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

  (680-8×40÷8+4=30(张),

  这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30.

  因此8分邮票有

  40+30=70(张).

  答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30.

  也可以用任意假设个数的办法.

  解二:譬如,假设有204分,根据条件“8分比4分多40,那么应有608.作为计算单位,此时邮票总值是

  4×20+8×60=560.

  比680少,因此还要增加邮票.为了保持40,每增加14分,就要增加18分,每种要增加的张数是

  (680-4×20-8×60÷4+8=10(张).

  因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).

  例一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天

  工程要多少天才能完成?

  解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8.用上一例题解的方法,晴天有

  (150-8×3÷10+8= 7(天).

  雨天是7+3=10天,总共

  7+10=17(天).

  答:这项工程17天完成.

  请注意,如果把雨天比晴天多3去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.

  总脚数两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢

  例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数28.问鸡与兔各几只?

  解假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2),于是鸡的只数是兔的只数的2.兔的只数是

  (100+28÷2÷2+1=38(只).

  鸡是

  100-38=62(只).

  答:鸡62只,兔38.

  当然也可以去掉28÷4=7(只).兔的只数是

  (100-28÷4÷2+1+7=38(只).

  也可以用任意假设个数的办法.

  解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是

  4×50-2×50=100

  比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2.因此要减少的兔数是

  (100-28÷4+2=12(只).

  兔只数

  50-12=38(只).

  另外,还存在下面这样的问题:总头数换成两数之差总脚数也换成两数之差”.

  例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少.

  解如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差

  13×5×4+20=280(字).

  每首字数相差

  7×4-5×4=8(字).

  因此,七言绝句有

  28÷28-20=35(首).

  五言绝句有

  35+13=48(首).

  答:五言绝句48首,七言绝句35.

  解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10.字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了

  460-280=180(字).

  与题目中20相差

  180+20=200(字).

  说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

  200÷8=25(首).

  五言绝句有

  23+25=48(首).

  七言绝句有

  10+25=35(首).

  在写出鸡兔同笼公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7、例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下,就会发现非常有趣的事.

  例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是

  (680-8×40÷8+4=30(张).

  例9,假设都是兔,鸡的只数是

  (100×4-28÷4+2=62(只).

  10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是

  (20×13+20÷28-20=35(首).

  首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与鸡兔同笼公式比较,这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢?

  当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

  例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?

  解:如果没有破损,运费应是400.但破损只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是

  (400-379.6÷1+0.2=17(只).

  答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

  请你想一想,这是鸡兔同笼同一类型的问题吗?

  例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对18分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?

  解如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是

  8×6-2×15-6=30(分).

  两次相差

  120-30=90(分).

  比题目中条件相差10分,多了80.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10.两者两差数就可减少

  6+10=16(分).

  (90-10÷6+10=5(题).

  因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).

  第一次得分

  5×19-1×24- 9=90.

  第二次得分

  8×11-2×15-11=80.

  答:第一次得90分,第二次得80.

  解二:答对30题,也就是两次共答错

  24+15-30=9(题).

  第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).

  如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120.比题目中条件第一次得分多10,要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是

  (6×9+10÷6+10=4(题)·

  第一次答错 9-4=5(题).

  第一次得分 24-5-1×5=90(分).

  第二次得分 15-4-2×4=80(分).

三、从  

  是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.

  例13 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花了300.其中铅笔数量是圆珠笔的4.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3.问三种笔各有多少支?

  解:从条件铅笔数量是圆珠笔的4,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作

  (0.60×4+2.7÷5=1.02(元).

  现在转化成价格1.026.3两种笔.鸡兔同笼公式可算出,钢笔支数是

  (300-1.02×232÷6.3-1.02=12(支).

  铅笔和圆珠笔共

  23212220(支).

  其中圆珠笔

  220÷4+1=44(支).

  铅笔

  220-44=176(支).

  答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176.

  例14 商店出售大、中、小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.每种球各买几个?

  解:因为总钱数是整数,大、小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数.我们设想买中球、小球钱中各出3.就可买2个中球,, 3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

  (1.5×2+1×3÷2+3=1.2(元).

  从公式可算出,大球个数是

  (120-1.2×55÷3-1.2=30.

  买中、小球钱数各是

  (120-30×3÷2=15(元).

  可买10个中球,15个小球.

  答:买大球30个、中球10个、小球15.

  例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法),把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把转化成.

  例15是为例16作准备.

  例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少?

  解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

  平均速度=所行距离÷所用时间

  去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.

  千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3÷2=4.5千米.

  例16 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米?

  解:把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21总脚数90,鸡、兔脚数分别是45.因此平路所用时间是

  (90-4×21÷5-4=6(小时).

  单程平路行走时间是6÷2=3(小时).

  从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是

  45-5×3=30(千米).

  又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是

  (6×7-30÷6-3=4(小时).

  行走路程是3×4=12(千米).

  下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米).

  答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

  做两次鸡兔同笼的解法,也可以叫两重鸡兔同笼问题”.16是非常典型的例题.

  例17 某种考试已举行了24次,共出了426.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20.那么,其中考25题的有多少次?

  解:如果每次都考16题,16×24=384,比42642道题.

  每次考25道题,就要多25-16=9(道).

  每次考20道题,就要多20-16=4(道).

  就有

  25题的次数+4×20题的次数=42.

  请注意,442都是偶数,25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由9×6=5442大,考25题的次数,只能是024这三个数.由于42不能被4整除,04都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次).

  答:其中考25题有2.

  例18 50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位?

  解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数.

  如果有30人乘电车,

  110-1.2×30=74(元).

  还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

  如果有40人乘电车

  110-1.2×40=62(元).

  还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(626×10.说明假设的乘电车人数又多了.3040之间,只有355的整数.

  现在又可以转化成鸡兔同笼了:

  总头数 50-35=15

  总脚数 110-1.2×35=68.

  因此,乘小巴前往的人数是

  (6×15-68÷6-4=11.

  答:乘小巴前往的同学有11.

  在转化为时,例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种.17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成的问题了.在小学算术的范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.